Nichtrenormierbare

Nicht-normierbare Räume sind topologische Vektorräume, deren Topologie sich nicht durch eine Norm erzeugen lässt. Die Normierbarkeit eines Raumes bedeutet, dass es eine Norm gibt, deren induzierte Topologie mit der gegebenen Topologie übereinstimmt. In der Praxis spricht man oft von normierbaren Räumen, wenn sich die Topologie durch eine einzige stetige Seminorm bestimmen lässt; diese Seminorm ist dann eine Norm.

Für lokal konvexe Räume gilt: Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann normierbar, wenn seine Topologie durch eine einzelne stetige Seminorm erzeugt wird, die zugleich eine Norm ist. In endlicher Dimension ist jeder Hausdorff-Topologieraum normierbar, doch in unendlicher Dimension ist Normierbarkeit keine Selbstverständlichkeit. Viele Fréchet-Räume, wie C∞(K) oder das Schwartz-Raum S(R), sind metrisiert und vollständig, aber nicht normierbar.

Beispiele verdeutlichen Nicht-Normierbarkeit. Der Raum C∞([0,1]) mit der üblicher Frech Topologie ist ein Fréchet-Raum, der nicht durch eine einzige Norm erzeugt wird. Der Raum D(R) der Testfunktionen (und ähnliche LF-Räume) ist ebenfalls nicht normierbar. Der Raum R^N mit der Produkttopologie ist zwar metrisiert, aber nicht normierbar. Dem gegenüber stehen normierbare Räume wie Banach- oder Hilberträume, deren Topologie durch eine einzelne Norm gegeben ist.

Bedeutung und Nutzung: Nicht-normierbare Räume treten vor allem in der Analysis von Funktionen, Distributionen sowie in der Theorie der Fréchet- und LF-Räume auf. Die Unmöglichkeit einer Normisierung hat oft Konsequenzen für Konzepte wie Dualräume, Dichtheit, Kompaktheit und die Verallgemeinerung von Satzstrukturen, die in normierten Räumen gut verstanden sind.