Necessitationregel

Necessitationregel, kurz Nec, ist eine Inferenzregel in der modalen Logik. Sie besagt, dass aus der Tatsache, dass eine Formel φ beweisbar ist, follgert, dass □φ ebenfalls beweisbar ist. Formal ausgedrückt: Wenn ⊢ φ, dann ⊢ □φ. In Beweissystemen wird diese Regel oft so verwendet, dass ein Satz, der ohne Annahmen abgeleitet wurde, als notwendig anerkannt wird.

In natural deduction wird Nec üblicherweise so formuliert, dass aus einem Beweis von φ mit keinen offenen Annahmen (also einer Theoremform) der Beweis von □φ folgt. Die Regel spiegelt die Idee wider, dass ein bewiesener Satz nicht nur wahr ist, sondern in allen möglichen Welten wahr ist.

Semantisch lässt sich Nec durch Kripke- Semantik verstehen: Wenn φ in allen möglichen Welten eines Modells gilt, dann gilt □φ in jeder Welt des Modells. Damit ist jede Theoremableitung automatisch eine notwendige Wahrheit.

Necessitation ist in normalen modallogischen Systemen üblich, etwa in Systemen K, T, S4 und S5, oft in Verbindung mit der Axiomatisierung von K: □(φ → ψ) → (□φ → □ψ). Die Regel sorgt dafür, dass Beweise in der Logik zu notwendigen Wahrheiten ansteigen, und sie ist nicht unverzichtbar in allen Logiken; in nicht-normalen Modallogiken oder in bestimmten parakonsistenten Systemen kann Nec eingeschränkt oder ungültig sein.