Näherungsmethoden

Näherungsmethoden sind Verfahren zur Bestimmung von Größen oder Funktionen, die nicht in geschlossener Form exakt berechenbar sind. Sie beruhen auf vereinfachenden Modellen, diskreter Approximation oder der schrittweisen Annäherung durch Rechnungsschritte. Man unterscheidet grob zwischen analytischen Näherungsverfahren, die eine explizite Näherungsfunktion liefern, und numerischen Näherungsverfahren, die durch wiederholte Berechnungen näherungsweise Ergebnisse erzielen.

Analytische Näherungsverfahren verwenden formale Reihen oder asymptotische Erweiterungen, um Funktionen oder Gleichungen zu approximieren. Typische Beispiele sind Taylor- und Laurent-Reihen, Potenz- oder Potenzreihen, sowie Padé- oder Pade-Approximationen, die oft konvergente Näherungen außerhalb von einfachen Potenzreihen liefern. Die Genauigkeit hängt von der Glattheit der Funktion und dem betrachteten Definitionsbereich ab.

Numerische Näherungsverfahren umfassen Verfahren zur Lösung von Gleichungen, linearen oder nichtlinearen Gleichungssystemen, zur Näherung von Ableitungen und Integralen sowie zur diskreten Modellierung von Differentialgleichungen. Wichtige Klassen sind: iterative Verfahren zur Gleichungs- oder Gleichungssystemlösung (Newton-Raphson, Secant, Bisection; Jacobi- und Gauss-Seidel-Verfahren), direkte Verfahren (LU-Zerlegung); Diskretisierung von Differentialgleichungen (Finite-Differenzen, Finite-Elemente, Finite-Volumen) und zeitabhängige Integrationsverfahren (Euler, Runge-Kutta); numerische Integration (Trapezregel, Simpson, Gauss-Quadratur); sowie Näherung in der Datenanalyse durch Interpolation (Polynominterpolation, Splines) und Regression (Kleinste Quadrate).

Fehlerquellen umfassen Rest- bzw. Approximationsfehler, Rundungsfehler, Stabilität und Kondition des Problems. Die Wahl der Methode hängt von Genauigkeitsbedarf, Rechenzeit und Stabilitätsanforderungen ab. Anwendungen finden sich in Wissenschaft, Technik, Ingenieurwesen und Datenanalyse.