Monotoniikkaa

Monotoniikka, tai monotonisuus, on matematiikassa käytetty käsite, joka kuvaa sitä, miten järjestys säilyy tietyissä rakenneissa kuten funktioissa ja jonoissa. Yleisesti tarkastellaan, miten arvo tai tulos muuttuu, kun syötteen järjestys kasvaa tai pienenee.

Funktioista puhuttaessa f on monotonisesti kasvava, jos x ja y kuuluvat sen määrittelyalueelle ja x ≤ y johtaa f(x) ≤ f(y). Silloin sanotaan, että f ei-laske. Jos lisäksi x < y ⇒ f(x) < f(y), f on tiukasti kasvava. Vastaavasti f on monotonisesti laskeva, jos x ≤ y ⇒ f(x) ≥ f(y), ja tiukasti laskeva, jos x < y ⇒ f(x) > f(y). Nämä määritelmät kattavat myös ei-vähenevän ja ei-nousevan käyttäytymisen.

Monotoniikkaa tarkastellaan myös jonoissa. Sekvenssi a_n on monotonisesti kasvava, jos a_n ≤ a_{n+1} kaikilla n, ja monotonisesti laskeva, jos a_n ≥ a_{n+1}. Monotonisuus ja rajoitteisuus liittyvät usein konvergenssiin: monotoneja ja rajoitettuja jonoja voidaan johtaa rajoitettuun määritelmään ja niiden raja-arvot voivat exist.

Ominaisuuksiltaan monotoneisuus säilyttää järjestyksen tietyissä operaatioissa. Esimerkiksi kahden monotonisen ja kasvavan funktion yhdistetty sovellus ja koostaminen voi olla monotoninen, ja tiukasti monotoneista funktioista voidaan usein puhua injektiivisyydestä sen voimassa olevan järjestyksen vuoksi. Monotoniikka on keskeinen käsite analyysissä, optimoinnissa ja taloustieteessä sekä matematiikan perusopetuksessa.

Sovellukset kattavat laskennalliset tulkinnat, raja-arvot, integraation sekä epävarmuus- ja taloustieteelliset mallit, joissa järjestyksen säilyminen on keskeistä.