monotoneisuus

Monotoneisuus (monotonisuus) on käsite, joka kuvaa, säilyykö järjestys jossakin suureessa tai funktiossa. Funktio f: I → R on monotonisesti kasvava, jos x1 ≤ x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2) kaikilla x1, x2 ∈ I. Jos lisäksi x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2), puhutaan tiukasta kasvusta. Vastaavasti funktio on monotonisesti laskeva, kun x1 ≤ x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2), ja tiukasti laskeva, kun x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2). Sama määritelmä pätee jonoille {a_n} ⊂ R: jono on monotone kasvava, jos a_n ≤ a_{n+1} kaikilla n, ja monotone laskeva, jos a_n ≥ a_{n+1} kaikilla n.

Ominaisuudet: Monotoniset funktiot ovat usein helpommin analysoitavissa kuin yleistetyt. Ne ovat rajoitetun vaihtelun funktioita: niiden vaihtelu välillä [a,b] on enintään f(b) − f(a). Monotonisen funktion rajat ovat olemassa sekä vasemmalta että oikealta pisteissä, ja loppupisteisiin liittyvät raja-arvot ovat yleensä hyppyjä. Epäjatkvuudet monotoneisilla funktioilla ovat rajoitettuja hyppyjä, ja epäjatkuvuuksien määrä on enintään luettavissa tietyllä välillä.

Sovellukset ja esimerkit: Esimerkiksi f(x) = x^3 on tiukasti kasvava koko R:n. f(x) = x^2 on kasvava vain välillä [0, ∞). f(x) = |x| ei ole monotoneinen koko R:llä, vaikka on monotoneinen [0, ∞) ja (−∞,0]. Monotoneisuus on keskeinen käsite analyysissä, optimoinnissa ja taloustieteessä. Analyyttisissa yhteyksissä on merkitystä myös tulonsiirtoihin liittyvissä teoreemoissa, kuten Monotone Convergence Theorem, joka kertoo, kuinka tietoa kattavien funktioiden määritelmiä integraaleja liittyy toisiinsa, kun jonon funktiot kasvavat ja lähestyvät rajaa.