injektiivisyydestä

Injektiivisyys on matemaattinen käsite, joka liittyy funktioiden ominaisuuksiin. Funktio $f: A \to B$ on injektiivinen, jos jokaiselle $y \in B$ on olemassa korkeintaan yksi $x \in A$ siten, että $f(x) = y$. Toisin sanoen, jos funktion arvo on sama kahdelle eri syötteelle, nämä syötteet on oltava samat. Erityisesti, jos $f(x_1) = f(x_2)$ jollakin $x_1, x_2 \in A$, niin silloin on oltava $x_1 = x_2$.

Injektiivistä funktiota kutsutaan myös "yksikäsitteiseksi", "yksittäiseksi" tai "onneksi". Injektiivisyys varmistaa, että funktio ei "hukkaa" tietoa kuvausjoukkoon. Jos funktio ei ole injektiivinen, sitä kutsutaan ei-injektiiviseksi tai surjektiiviseksi.

Käytännössä injektiivisyyden tarkastelu on tärkeää esimerkiksi käänteisfunktion määrittelemiseksi. Funktiolla on käänteisfunktio, jos ja vain jos se on sekä injektiivinen että surjektiivinen. Injektiivisyyden tarkastelu on keskeistä myös lukuteoriassa ja koodaus-teoriassa.

Esimerkiksi funktio $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x$, on injektiivinen, koska jos $2x_1 = 2x_2$, niin on oltava $x_1 = x_2$. Funktio $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = x^2$, ei ole injektiivinen, koska esimerkiksi $g(2) = 4$ ja $g(-2) = 4$, mutta $2 \neq -2$.