Momenttijakaumaa

Momenttijakauma on tilastotieteessä ja todennäköisyyslaskennassa käytetty käsite, joka liittyy satunnaismuuttujan X momenttien jakaumaan. Momentit kuvaavat muuttujan perusominaisuuksia: m_k = E[X^k] on k:nnen merkkijohtajan eli raw momentin arvo (k = 1, 2, 3, ...). Ensimmäinen momentti m_1 on odotusarvo, toinen momentti m_2 liittyy muuttujan hajontaan, ja keskitetyt momentit μ_k = E[(X−μ)^k] antavat dispersiota ja muotoa, kuten varianssin Var(X) = μ_2, skewnessin sekä kurtosisin.

Momenttijakaumalla voidaan viitata kahteen asiaan: (1) jakaumaan, joka on määritelty tai tunnistettu sen momenttien avulla, sekä (2) hetkittäisistä havainnoista muodostettava momenttijoukko, jota käytetään estimaatiossa ja sovituksessa. Momenttihäiriö (moment problem) tutkii, voiko jakauma olla täysin määritelty kaikkien momenttien perusteella ja onko tällöin ratkaisu yksikäsinen. Hamburgerin ja Stieltjesin momenttihäiriöt käsittelevät näitä kysymyksiä erilaisten tukijoukkojen avulla.

Momenttien generoiva funktio M_X(t) = E[e^{tX}] sisältää kaikki momentit: m_k = M_X^{(k)}(0). Myös karakteristinen funktio φ_X(t) = E[e^{itX}] tarjoaa toisen tavan käsitellä momentteja. Nämä funktiot helpottavat sekä teoreettista analyysiä että käytännön laskelmia.

Käytännön sovelluksia ovat menetelmä momenttien sovitus (method of moments) parametriestimoinnissa, sekä korkean tason kuvaus muuttujan jakauman muodosta. Momenttijakaumaa hyödynnetään muun muassa tilastollisessa päättelussa, riskien arvioinnissa ja yksilöityjen määrien analyysissä.