Momentmetodikk

Momentmetodikk, også kjent som metoden for øyeblikk, er en statistisk estimeringsteknikk som brukes for å estimere parametere i en sannsynlighetsfordeling eller en modell ved å sette inn empiriske øyeblikk lik de teoretiske (populasjons-) øyeblikkene. Øyeblikkene er forventede verdier av X^r for r=1,2, og så videre.

Prosedyren innebærer å velge et sett av øyeblikk som tilsvarer antallet ukjente parametere. Beregn prøverøklene m_r = (1/n)sum_i X_i^r fra dataene. Kryssorganiser de teoretiske momentene μ_r(θ) som funksjoner av parametrene θ, og løs μ_r(θ) = m_r for θ. Som eksempel, for normalfordelingen N(μ, σ^2) med ukjente μ og σ^2, gir første og andre momentene μ_1 = μ og μ_2 = μ^2 + σ^2. Løsningen gir μ_hat = x̄ og σ^2_hat = m_2 − m_1^2 (med m_1 = x̄).

Eksempler inkluderer Exponential(λ) hvor λ_hat = 1/x̄, og mer generelle familier som Gamma(k, θ) hvor først og andre momentene brukes til å løse for k og θ. Metoden er ofte enkel å implementere og gir eksplisitte estimater uten fullstendig sannsynlighetsmodell, og kan være nyttig som rask første skisse eller som startverdi for mer effektive metoder som maksimal sannsynlighet.

Begrensningene inkluderer at estimatene ofte er mindre effektive enn MLE, kan være identifikasjonsproblemer eller ikke-eksakte løsninger i enkelte modeller, og høyere øyeblikk kan være sårbare for outliers og små prøver. Momentmetodikk har røtter i tidlig 1900-tall, og er percept som en grunnleggende teknikk i klassisk statistikk.