Mengenanteilen

Der Mengenanteil bezeichnet den relativen Anteil einer Teilmenge A an einer Gesamtmenge U. In der Mathematik wird der Anteil oft als Verhältnis der Größenordnungen angegeben: Anteil(A) = |A| / |U|. Er liegt im Bereich von 0 bis 1 und lässt sich als Bruch, Dezimalzahl oder Prozentwert ausdrücken. In Wahrscheinlichkeits- und Statistik-Kontexten entspricht der Mengenanteil häufig der Wahrscheinlichkeit oder der relativen Häufigkeit.

Bei endlichen Mengen gilt der oben genannte Ausdruck direkt. Beispiel: In einer Menge U mit 100 Elementen entspricht eine Teilmenge A mit 25 Elementen dem Anteil 25/100 = 0,25 bzw. 25 Prozent.

Bei unendlichen Mengen lässt sich der Anteil nicht durch eine einfache Kardinalität bestimmen. Stattdessen verwendet man Dichten oder Maße. Die natürliche Dichte einer Teilmenge A der natürlichen Zahlen N ist definiert als d(A) = lim_{n→∞} |A ∩ {1, ..., n}| / n, sofern der Grenzwert existiert. Allgemeiner gilt im Maßraum (X, μ) der Mengenanteil einer messbaren Teilmenge A relativ zu X als μ(A) / μ(X), vorausgesetzt μ(X) ist endlich. In der Stochastik entspricht der Mengenanteil oft der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, insbesondere bei endlichen, gleichverteilten Ergebnisräumen.

Anwendungen erstrecken sich über Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung zur Beschreibung relativer Häufigkeiten, sowie über Maß- und Mengentheorie zur Formulierung von Dichte- und Wahrscheinlichkeitsbegriffen. Der Begriff bietet eine einfache, interpretierbare Orientierung, wie groß ein Teil im Verhältnis zur Gesamtheit ist.