Maßverteilung

Maßverteilung ist ein Begriff aus der Maßtheorie und bezeichnet eine Maßeinheit μ, die auf einem messbaren Raum (X, Σ) definiert ist. Ein Maß ordnet jedem messbaren Satz A ∈ Σ eine nichtnegative reelle Zahl μ(A) zu und erfüllt μ(∅) = 0 sowie die abzählbare Additivität: μ(⋃n A_n) = Σn μ(A_n) für disjunkte Folgen von Mengen. Wird μ(X) = 1, spricht man von einer Wahrscheinlichkeitsverteilung bzw. einem Wahrscheinlichkeitsmaß; solche Maße werden häufig in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet.

Beispiele für Maßverteilungen sind die Lebesgue-Verteilung auf dem reellen Raum R^n, das Zählmaß auf einer abzählbaren Menge, sowie das Dirac-Maß δ_x0, das genau auf dem Punkt x0 konzentriert ist. Weitere Beispiele schließen Gaussian-, Poisson- oder Gamma-Maße ein, je nach Kontext.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird die Maßverteilung eines Zufallsvariables X durch das Push-forward-Maß μ_X definiert: μ_X(B) = P(X ∈ B) = P(X^{-1}(B)) für Borel-Mmaßen B. Die zugehörige Verteilungsfunktion ist F_X(x) = μ_X((−∞, x]). Falls das Maß absolut stetig bezüglich des Lebesgue-Maßes λ ist, existiert eine Dichte f mit μ(A) = ∫_A f dλ, und μ hat damit eine Tatsache über die Wahrscheinlichkeitsverteilung hinweg.

Transformationen von Maßen erfolgen über Abbildungen: Wird T eine messbare Abbildung von (X, Σ) nach (Y, Τ), so definiert sich das neue Maß μ' auf Y durch μ'(B) = μ(T^{-1}(B)). Dann gilt oft eine Änderungsvarianten der Variablen-Formel, insbesondere bei absolutely continuous Maßen sowie bei Densitäten.

Maßverteilungen spielen eine zentrale Rolle in Statistik, Physik und vielen Bereichen der Mathematik, da sie die Verteilung von Massen, Wahrscheinlichkeiten oder anderen Größen auf einem Raum präzise beschreibt.