Matrizesysteme

Matrizesysteme bezeichnet in der Mathematik mehrere auf bestimmte Weise zusammengefasste Matrizen oder ein System linearer Gleichungen, das durch Matrizen beschrieben wird. Typischerweise wird ein lineares Gleichungssystem in Matrixform geschrieben als Ax = b, wobei A die Koeffizientenmatrix ist, x der Vektor der Unbekannten und b der Right-Hand-Side-Vektor. Ein Matrizensystem kann auch das augmentierte System [A|b] umfassen, das für Gausssche Eliminationen genutzt wird.

Solche Systeme lassen sich durch verschiedene Eigenschaften charakterisieren. Die Lösbarkeit hängt von Rang und Dimensionen ab: Ist der Rang von A gleich der Rang von [A|b] und klein genug, existiert eine Lösung; ansonsten ist das System inkonsistent. Ist A quadratisch und invertierbar, existiert eindeutig eine Lösung x = A^{-1}b. In anderen Fällen kann es unendlich viele Lösungen (unterbestimmtes System) oder keine Lösung (überbestimmtes System) geben.

Matrizesysteme treten in vielen Bereichen auf: bei der Lösung technischer Probleme, in der Computergraphik zur Darstellung von Transformationen, in der Statistik bei Regressionsmodellen oder in der Numerik bei der Diskretisierung von Gleichungen. Sie bilden auch die Grundlage für weitergehende Konzepte wie Matrixgleichungen, Matrix-Pencils (A − λB) und lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen.

Zusammenfassend bezeichnet der Begriff Matrizesysteme eine Struktur, in der Matrizen zusammenwirken, um lineare Beziehungen zu modellieren, zu analysieren und zu lösen.