Matrizenaddition

Matrizenaddition ist die Operation, zwei Matrizen derselben Abmessung zu addieren. Sei A und B eine m×n-Matrix über einem Körper F (häufig R oder C). Dann ist A + B die m×n-Matrix mit Einträgen c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} für alle i = 1,...,m und j = 1,...,n. Die Addition ist definiert, wenn A und B dieselbe Größe haben.

Notation und Definition: A, B ∈ F^{m×n}. Die Summe wird komponentenweise gebildet, d.h. c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}. In Kurzform: C = A + B.

Eigenschaften: Matrizenaddition ist kommutativ und assoziativ; A + B = B + A und (A + B) + C = A + (B + C). Es gibt die Nullmatrix 0_{m×n} als additives Identität: A + 0_{m×n} = A. Zu jeder Matrix A gehört die additive Inverse −A, sodass A + (−A) = 0.

Verknüpfung mit Vektorräumen: Der Raum der m×n-Matrizen über F, F^{m×n}, bildet mit der Matrizenaddition und der Skalarmultiplikation einen Vektorraum. Für alle α, β ∈ F gilt α(A + B) = αA + αB und (α + β)A = αA + βA. Die Operation ist damit eine zentrale Komponente der linearen Algebra.

Beispiel: A = [[1, 2], [3, 4]] und B = [[5, 6], [7, 8]] liefern A + B = [[6, 8], [10, 12]].

Anwendungen: Matrizenaddition wird verwendet, um lineare Transformationen zu addieren, Kovarianzmatrizen zu bilden, in numerischen Verfahren zur Fehleranalyse und in vielen Bereichen der linearen Algebra und Statistik.