Matrixabbau

Matrixabbau bezeichnet in der deutschsprachigen Fachliteratur einen Oberbegriff für Verfahren, die die Information oder die Komplexität einer Matrix reduzieren oder sie in eine einfachere Form überführen. Der Begriff wird in unterschiedlichen Kontexten verwendet und kann sich sowohl auf algebrasche Umformungen als auch auf Strukturvereinfachungen beziehen.

Im Bereich der linearen Algebra steht die Matrixreduktion oft im Zentrum, etwa beim Gausschen Eliminationsverfahren, das eine Matrix in Zeilenstufenform oder in die reduzierte Zeilenstufenform überführt. Solche Umformungen erleichtern das Lösen von linearen Gleichungssystemen, die Bestimmung des Ranges oder die Bestimmung von Inversen. Häufige Teilaspekte sind dabei die Verwendung von Pivot-Elementen und die Anwendung von elementary row operations.

Neben direkten Umformungen spielt auch die Zerlegung einer Matrix eine Rolle, die als Form der Reduktion gesehen werden kann. Beispiele sind LU-, QR- oder Singulärwertzerlegung (SVD). Durch solche Zerlegungen erhält man faktorisierte Darstellungen, die Rechenaufwand verringern und Stabilität erhöhen, etwa bei der Lösung linearer Systeme, der Inversion oder der Spektral- bzw. Dimensionsanalyse.

In der numerischen Praxis kann Matrixabbau auch sparsifikative oder rank-reduzierende Maßnahmen umfassen, etwa das Abschneiden kleiner Einträge oder das Reduzieren der Rangstruktur, um Speicherbedarf und Rechenzeit zu senken.

Siehe auch: Matrixreduktion, Gauss-Elimination, LU-Zerlegung, QR-Zerlegung, SVD, Rang.