Matriisifaktorointi

Matriisifaktorointi on matemaattinen menetelmä, jossa suurelle matriisille A pyritään löytämään pienemmän ulottuvuuden esitys. Tavallinen malli on A ≈ WH, jossa A ∈ R^{m×n}, W ∈ R^{m×r} ja H ∈ R^{r×n}, ja r on usein pienempi kuin min(m,n). Tällainen esitys tiivistää datan rakenteen, mahdollistaa piirteiden erottelun ja auttaa tiivistämään sekä tulkitsemaan suuria matriiseja.

Yleisimmät matriisifaktoroinnit ovat LU-, QR- ja singulaarijakautuma (SVD). LU-faktoroinnissa A = LU, missä L on alhaiskulmainen ja U ylätriagonaalinen; sitä käytetään lähinnä lineaaristen järjestelmien ratkaisemiseen. QR-faktoroinnissa A = QR, jossa Q on ortogonaalinen ja R on ylätriagonaalinen; soveltuu erityisesti pieniin virheisiin perustuvien ratkaisujen etsimiseen. SVDssä A = U Σ V^T tarjoten parhaan mahdollisen r:n pituisen, pienemmän matriisin A:n lähestymän tilan minimikuvion Frobenius- tai 2-normin virheellä. Ei-negatiivinen matriisifaktorointi (NMF) A ≈ WH antaa ei-negatiiviset tulokset sekä W:stä että H:stä, ja sitä käytetään usein osien muodossaisten kuvien ja tekstiinalyysin kaltaisissa sovelluksissa.

Algoritmeja matriisifaktorointiin ovat muun muassa alternating least squares (ALS), multiplicative update -säännöt NMF:lle sekä erilaiset gradientti- tai projekteerausmenetelmät. Valinta riippuu datan ominaisuuksista ja toivotusta tulkinnasta.

Sovelluksia ovat muun muassa suositusjärjestelmät, tekstianalyysi ja aiheen mallintaminen, kuvantaminen ja muu signaalinkäsittely sekä genomianalyysi. Rajoitteita ovat epävarmuus ja identifiointiongelmat, valittava r-arvo, laskennallinen kustannus sekä tulkinnan subjektiivisuus. Matriisifaktorointi on työkaluna keskeinen monissa datatieteen ja koneoppimisen tehtävissä.

---