Massemaße

Massemaß bezeichnet in der Mathematik und Physik ein Maß, das die Verteilung von Masse in einem Raum beschreibt. Formal betrachtet handelt es sich um ein Maß m auf einem messbaren Raum (X, Σ) mit einer Masseverteilungsdichte rho: X → [0, ∞), die lokal integrierbar ist. Dann definiert man das Massemaß durch m(A) = ∫A rho dµ0 für alle messbaren Mengen A, wobei µ0 ein Grundmaß ist (beispielsweise das Lebesgue-Maß auf R^n). Damit ist m absolut stetig gegenüber µ0 und seine Radon-Nikodým-Dichte ist rho. Im Fall X = R^n und µ0 = Lebesgue-Maß gilt m(A) = ∫A rho(x) dx.

Gute Beispiele: rho ≡ c führt zu m = c·µ0; nach einer räumlich verteilten Dichte ergeben sich entsprechend verschiedene Massenwerte für Teilmengen. Discrete Masse lässt sich als Summe von Dirac-Delta-Maßen darstellen, während ein Massemaß mit Dichte eine kontinuierliche Verteilung modelliert. Massemaße sind wichtige Bausteine in der Geometrischen Maßtheorie, der Kontinuumsmechanik und der Physik, etwa bei der Beschreibung von Masseverteilungen in Körpern oder bei Massentransportproblemen.

Eigenschaften: m ist ein endliches oder unendliches Maß je nach Dichte rho und Grundmaß; m(A) ist monoton in A; m ist sigma-additiv. Wenn rho lokal integrierbar ist, ist m ein Radon-Maß.

Siehe auch: Radon-Maß, absolut stetiges Maß, Lebesgue-Maß, Dichte, Maßtheorie.