Lévyprocessen

Lévyprocessen är en klass av stochastiska processer som används för att modellera kontinuerlig tids- och slumpmässig utveckling med oberoende och stationära inkrement. En process (X_t)_{t≥0} kallas Lévyprocess om X_0 = 0 almost surely, inkrementen X_t − X_s för 0 ≤ s < t är oberoende av historien och endast beror av t − s, inkrementen är stationära, och vägen har högerkontinuitet med vänstergräns (cadlag). Denna kombination av egenskaper gör Lévyprocesser tidshomogena och minneslösa i inkrementen.

Lévy-Khintchine-formeln beskriver lagarna hos en Lévyprocess genom en triplet (a, σ^2, ν). Här är a en driftterm, σ^2 driftbunden till en Gaussian-komponent, och ν är Lévy-mätan som styr jump-delen. För en en-dimensionell process gäller för karakteristiken E[e^{i u X_t}] = exp{ t [ i a u − (1/2) σ^2 u^2 + ∫_{R\{0}} (e^{i u x} − 1 − i u x 1_{|x|<1}) ν(dx) ] }. Funktionen ν måste uppfylla ∫ min(1, x^2) ν(dx) < ∞. Dessa parametrar ger full beskrivning av processens distributionsutveckling.

Lévy-Ito-decompositionen visar hur X_t kan byggas som sum of tre oberoende komponenter: en deterministisk drift a t, en Brownsk komponent σ W_t, och en jump-del som drivs av en Poissonmätningsprocess med Lévy-mätan ν. Jump-delen kan skrivas som en integral över jumps, ofta uppdelad i små och stora hopp.

Exempel på Lévyprocesser inkluderar Brownsk rörelse (ν = 0, σ > 0), Poissonprocessen (σ = 0), samt mer allmänna processer som α-stable processer och gamma- eller Cauchy-processer. Lévyprocesser används inom finans, försäkring, fysik och vänteteorin för att modellera system med både kontinuerlig rörelse och plötsliga hopp. De är centrala i teorin om stochasticitet och ger en enhetlig ram för olika modeller av tidsutveckling med slump.