Lyapunovfunktiot

Lyapunovfunktiot ovat keskeinen käsite dynaamisten järjestelmien vakauden analyysissä. Ne ovat skalaarisia funktioita V: R^n -> R, jotka mittaavat järjestelmän "energiaa" tai poikkeamaa tasapainopisteestä. Tyypillisesti tarkastellaan tasapainopisteen, yleensä x = 0, ympäristöä.

Lyapunovfunktion on oltava positiivisesti määritelty: V(0) = 0 ja V(x) > 0 kaikilla x ≠ 0. Jos lisäksi V on radiaalisesti epänegatiivinen ja sen kertaluvun vaihdot tai derivaatta ovat negatiivisia, voidaan johtaa vakauden tuloksia. Eri vakaustulokset määräytyvät derivativeista: jatkuvan aikavälin järjestelmässä ẋ = f(x) määrittää dV/dt = ∇V(x) · f(x). Discretiaarisessa ajassa x_{k+1} = f(x_k) käyttää tason muutosta ΔV = V(f(x)) − V(x).

Jos dV/dt ≤ 0 (tai ΔV ≤ 0) kaikilla x, järjestelmä on Lyapunov-stabiili. Jos dV/dt < 0 (tai ΔV < 0) kaikilla x ≠ 0, kyseessä on lokaali tai globaal asymptotinen vakaus riippuen siitä, onko V radiaalisesti epänegatiivinen ja jossain määrin radiaalisesti epävarma. Yleisissä tuloksissa voidaan käyttää LaSallein invarianssiperiaatetta, jonka mukaan kun dV/dt ≤ 0, järjestelmän trajektoriit lähtevät rajattuun joukkoon ja lähinnä suurimman invarianttisen joukon sisällä sijaituvaan tilaan.

Yleisessä käytössä on valittu sopiva V, usein quadratischinen muoto V(x) = x^T P x, P > 0, jolloin dV/dt tai ΔV voidaan laskea lineaaristen järjestelmien A^T P + P A = −Q (Q > 0). Lyapunovfunktiot eivät itsessään tarjoa ratkaisua, mutta ne tarjoavat kehyksen vakauden todistamiseen ilman ratkaisujen explicitia laskemista.