Lyapunovfunktioner

Lyapunovfunktioner är ett centralt verktyg inom teorin för dynamiska system och används för att analysera stabilitet hos ett jämviktsläge, oftast vid x = 0. En Lyapunovfunktion är en skalär funktion V: R^n → R med V(0) = 0 och V(x) > 0 för alla x ≠ 0. Funktionen ska även vara kontinuerlig och vanligtvis differentiable längs systemets trajectories.

I kontinuerliga system ẋ = f(x) beräknas tiden längs en lösning som dV/dt = ∇V(x) · f(x). Om dV/dt ≤ 0 för alla x och dV/dt < 0 för alla x ≠ 0, sägs jämvikten vara asymptotiskt stabil. Om dV/dt ≤ 0 men inte strikt negativ kan LaSalle’s invariansprincip användas för att dra slutsatser om stabilitet under vissa villkor. Begreppet kan utvidgas till lokal eller global stabilitet beroende på hur V beter sig över hela rummet och om den är radially obunden.

För diskreta system x_{k+1} = f(x_k) används ΔV = V(f(x)) − V(x) och kravet blir ofta ΔV ≤ 0. I linjära system ẋ = Ax används ofta kvadratiska Lyapunovfunktioner V(x) = x^T P x med P ≻ 0. Lyapunovkriterierna kopplas också till Lyapunovekvationen A^T P + P A = −Q med Q ≻ 0.

Användningar inkluderar bevis av stabilitet i nonlinear system, konstruktion av stabiliserande styrningar och design av observerare. Begränsningar är att det inte alltid är lätt att hitta en lämplig Lyapunovfunktion, och att existens inte automatiskt ger en praktisk konstruktionsmetod. Lyapunovmetoden, även kallad direkt metod, härstammar från Aleksandr Lyapunov och är central i modern kontrollteori.

---