Lyapunovfunksjoner

Lyapunovfunksjoner er sentrale i den formelle analysen av stabilitet i dynamiske systemer. En Lyapunovfunksjon er en skalar funksjon V: R^n → R som er positivt definert i et område rundt likevektspunktet, vanligvis med V(0) = 0 og V(x) > 0 for alle x ≠ 0. For kontinuerlige tidsdynamikker, der systemet beskrives av ẋ = f(x), vurderes veksten av V langs løsningene. Hvis dV/dt = ∇V(x) · f(x) ≤ 0 for alle x i området, har likevektspunktet stabilitet; hvis dV/dt < 0 for alle x ≠ 0, er likevektspunktet asymptotisk stabilt. For diskrete tidsdynamikker, x_{k+1} = f(x_k), brukes helt tilsvarende betingelser med ΔV = V(f(x)) − V(x) ≤ 0.

Lyapunov-teoremer gir en metode for å bevise stabilitet uten å løse systemet eksplisitt. En positivt definert V som oppfyller de nevnte betingelsene gir stabilitet, og strengere krav (negativ definithet av dV/dt eller ΔV) gir asymptotisk stabilitet. En vanlig konstruksjon er V(x) = x^T P x for lineære systemer ẋ = A x, der P er positiv definert og A^T P + P A ≤ 0. For diskrete systemer brukes tilsvarende uligheter.

Lyapunovfunksjoner er også nyttige i kontrolldesign, feilanalyse og robusthet, samt i anvendelser som LaSalle’s invariansprinsipp. Det er viktig å merke seg at eksistensen av en Lyapunovfunksjon er en tilstrekkelig, ikke nødvendig, betingelse for stabilitet; noen systemer kan være stabile uten kjent eller enkel å konstruere en Lyapunovfunksjon.