Lorentztransformaatiot

Lorentztransformaatiot ovat lineaarisia koordinaattimuutoksia, jotka liittyvät kahden inertiaalisen havaitsijan koordinaattien väliseen suhteeseen, kun havaitsijat liikkuvat vakionopeudella toisiinsa nähden. Ne muodostavat Lorentz-ryhmän, johon kuuluvat sekä palveluneliöitetut liikkeet (nopeusvektorit) että niihin liittyvät pyöritykset. Lorentz-transformaatioiden tehtävä on säilyttää erityisen suhteellisuusteorian perusominaisuus: spacetimen intervalin invarianssi.

Matemaattisesti Lorentz-transformaatio Λ täyttää condition Λ^T η Λ = η, missä η on Minkowskin metrikkä (toteutettuna esimerkiksi diag(1,−1,−1,−1) tai diag(−1,1,1,1) riippuen konventioista). Tämän seurauksena ne pitävät yllä s^2 = c^2 t^2 − x^2 − y^2 − z^2 (tai vastaavaa vastakuviointia) riippuen merkkien valinnasta. Lorentz-ryhmä O(1,3) koostuu kaikista tällaisista transformaatioista, kun taas oikeanpuoleinen,miellyttävä aliryhmä SO^+(1,3) käsittää ne transformaatioita, jotka säilyttävät ajan suunnan ja koordinaattien järjestyksen.

Esimerkki tavanomaisesta Lorentz-boostista x-suunnassa nopeudella v: t' = γ (t − v x / c^2), x' = γ (x − v t), y' = y, z' = z, missä γ = 1 / √(1 − v^2/c^2). Tässä boosts voidaan yhdistää ympäri kolmiulotteista tilaa tehtäviin rotaatioihin, jolloin saadaan yleinen Lorentz-boost (+ rotation) -transformaatio.

Lorentz-transformaatiot ovat keskeisiä erityisesti maksimaalisen nopeuden rajoituksen sekä liikkuvien kappaleiden aikakäsityksen, pituuden ja energian liittymässä. Niiden avulla voidaan muuntaa sähkömagneettiset yhtälöt eri havaitsijoiden välillä ja ne muodostavat osan Poincarén joustavaa ryhmää, johon kuuluu myös mekanismin translaatiot. Historiallisesti ne kehitettiin Lorentzin ja Einsteinin työn pohjalta ja saivat kineettisen tilan ja Minkowskin aikakäsitteen avulla selkeän fyysisen kuvan.