Logaritmifunktionen

Logaritmifunktionen sind Funktionen der Form f(x) = log_b(x) mit Basis b > 0 und b ≠ 1. Sie sind die Umkehrfunktionen der Exponentialfunktion b^x. Der Definitionsbereich ist x > 0, der Wertebereich umfasst alle reellen Zahlen. Die besonderen Fälle log_e(x) werden als natürlicher Logarithmus ln(x) bezeichnet, und log_10(x) als gemeinsamer Logarithmus.

Je nach Basis verhalten sie sich unterschiedlich: Für b > 1 steigt die Funktion, für 0 < b < 1 fällt sie. Die Ableitung lautet f'(x) = 1 / (x ln b). Damit ist der Verlauf der Kurve abhängig von ln b: positiv, wenn b > 1; negativ, wenn 0 < b < 1.

Wichtige Eigenschaften: log_b(1) = 0; x → 0+ führt zu log_b(x) → -∞; x → ∞ führt zu log_b(x) → ∞. Der Funktionsgraph hat eine vertikale Asymptote bei x = 0 und strebt langsam nach rechts zu höheren Werten. Die Funktion ist die Inverse der Exponentialfunktion b^x, d.h. log_b(b^x) = x und b^{log_b(x)} = x.

Beziehungen und Formeln: Die Change-of-base-Formel lautet log_b(x) = ln(x) / ln(b). Das bedeutet, man kann jeden Logarithmus durch den natürlichen Logarithmus ausdrücken. Anwendungen finden sich in der Lösen exponentieller Gleichungen, der Skalierung von Messdaten (logarithmische Skalen), in der Chemie beim pH-Wert (pH = -log_10[H+]) sowie in Akustik und anderen Bereichen, wo Größenverhältnisse sinnvoller auf einer logarithmischen Skala dargestellt werden.