Logarithmusfunktion

Die Logarithmusfunktion log_b(x) ist die Funktion, die für eine feste Basis b > 0, b ≠ 1, mit der Gleichung log_b(x) = y genau dann gilt, wenn x = b^y. Sie ist die inverse Funktion der Exponentialfunktion mit Basis b.

Definitionsbereich und Wertebereich: Der Definitionsbereich ist x > 0, der Wertebereich umfasst alle reellen Zahlen. Logarithmuswerte können jeden reellen Wert annehmen. Das Verhalten der Funktion hängt von der Basis ab: Sie ist wachsend, wenn b > 1, und fallend, wenn 0 < b < 1.

Eigenschaften: log_b(1) = 0 und log_b(b) = 1. Logarithmengesetze gelten u. a. log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y), log_b(x^k) = k log_b(x), log_b(x/y) = log_b(x) - log_b(y). Change of base: log_b(x) = ln(x) / ln(b), wobei ln der natürliche Logarithmus ist.

Ableitung und Integration: Die Ableitung von log_b(x) ist 1/(x ln b) für x > 0. Das Integral lautet ∫ log_b(x) dx = (x ln x - x)/ln b + C.

Graphische Eigenschaften und Anwendungen: Für x → 0+ geht log_b(x) gegen -∞, für x → ∞ gegen ∞. Anwendungen finden sich in Gleichungslösungen, Datenumwandlung, Skalierung von Messwerten und Wachstums- bzw. Abnahmeprozessen. Die Naturform der Logarithmusfunktion macht sie zu einem wichtigen Werkzeug in Wissenschaft, Technik und Mathematik.