Linjectività

La linjectivité est la propriété d'une application linéaire d'être injective, c'est-à-dire qu’elle ne fasse pas converger deux éléments distincts vers le même image. Pour une application linéaire T: V → W entre espaces vectoriels sur un même corps, T est linjectif si et seulement si T(v1) = T(v2) implique v1 = v2.

Une caractérisation équivalente est que le noyau de T soit réduit à {0}, c’est-à-dire Ker(T) = {v ∈ V | T(v) = 0} = {0}. Autrement dit, seul le vecteur nul se mappe sur le vecteur nul. Dans ce cadre, T est aussi une injection de V dans Im(T), son image.

Dans les espaces de dimension finie, l’injectivité entraîne des conséquences sur les dimensions: le rang de T est égal à dim V et la nullité est 0; par conséquent dim V ≤ dim W. Inversement, si dim V > dim W, aucune application linéaire de V dans W ne peut être injective. Lorsque dim V = dim W, une injection linéaire est nécessairement bijective et possède un inverse linéaire.

Exemples simples:

- L’application d’inclusion i: R → R^2 définie par i(t) = (t, 0) est injective mais non surjective.

- La projection p: R^2 → R sur une coordonnée, p(x, y) = x, n’est pas injective, car p(0,1) = p(1,0) mais (0,1) ≠ (1,0).

- L’application T: R^2 → R^2 donnée par T(x, y) = (x, y) est injective; si la matrice associée est inversible (par exemple [[1,0],[0,1]] ou [[1,1],[0,1]]), alors T est bijective sur R^2.

La linjectivité est souvent notée injection linéaire et joue un rôle central dans l’étude des isomorphismes entre espaces vectoriels et dans les propriétés de solutions des systèmes d’équations linéaires.