Linienkoeffizienten

Linienkoeffizienten bezeichnet man in der analytischen Geometrie als die Koeffizienten einer Geraden in der Ebene. Die gebräuchlichste Schreibweise ist die allgemeine Geradengleichung ax + by + c = 0, wobei a, b und c reelle Zahlen sind und nicht gleichzeitig a = b = 0 sein dürfen. Die Koeffizienten können durch Multiplikation mit einer nicht verschwindenden Konstante skaliert werden, ohne die dargestellte Gerade zu verändern.

Aus den Koeffizienten ergeben sich geometrische Eigenschaften der Geraden. Der Normalenvektor der Geraden ist (a, b); die Gerade ist somit perpendicular zum Vektor (a, b). Die Steigung der Geraden ergibt sich, sofern b ≠ 0, zu m = -a/b; der y-Achsenabschnitt liegt bei q = -c/b und der x-Achsenabschnitt bei x = -c/a (vorausgesetzt a bzw. b ≠ 0). Die Normalform mit a^2 + b^2 = 1 vereinfacht Abstandsberechnungen.

Der Abstand eines beliebigen Punkts (x0, y0) von der Geraden ax + by + c = 0 wird durch Dist = |ax0 + by0 + c| / sqrt(a^2 + b^2) bestimmt. Wird die Gleichung so skaliert, dass sqrt(a^2 + b^2) = 1, entspricht der Abstand vom Ursprung zur Geraden genau dem Betrag von c.

Neben der allgemeinen Form lässt sich die Geradengleichung auch als y = mx + q ausdrücken, wobei m = -a/b und q = -c/b gilt (für b ≠ 0). Linienkoeffizienten finden Anwendung in der Geometrie, bei linearen Gleichungssystemen, in der Computervision und Robotik, um Geraden eindeutig zu beschreiben, zu vergleichen oder zu rekonstruieren.