Linienintegrals

Linienintegrale bezeichnen Integrale, die entlang einer Kurve C im Raum berechnet werden. Es gibt zwei Hauptarten: Linienintegrale eines Skalarfeldes und Linienintegrale eines Vektorfeldes. Sei C durch eine Regularparameterisierung r(t) mit t im Intervall [a,b] gegeben.

Das Linienintegral eines Skalarfeldes f über C ist ∫_C f ds, wobei ds = ||r'(t)|| dt. Somit gilt ∫_C f ds = ∫_a^b f(r(t)) ||r'(t)|| dt.

Das Linienintegral eines Vektorfeldes F über C ist ∫_C F · dr = ∫_a^b F(r(t)) · r'(t) dt, wobei dr = r'(t) dt und die Orientierung von C festgelegt ist.

Wesentliche Eigenschaften: Die Parameterisierung beeinflusst das Integral nicht; das Ergebnis bleibt unverändert, solange Kurve und Orientierung gleich bleiben. Ist F konservativ, d.h. F = ∇φ, gilt für ein geschlossenes C ∮ F · dr = 0 und das Integral hängt bei offenen Kurven nur von den Endpunkten ab: φ(B) − φ(A).

Beziehungen zu Theoremen: Green's Theorem in der Ebene verbindet ein Linienintegral um einen einfachen geschlossenen Rand C mit einem Flächenintegral über die von C eingeschlossene Fläche D; Stokes' Theorem generalisiert dies auf Flächen im Raum und verbindet ∮_C F · dr mit ∬_S (curl F) · n dS. Der Divergenzsatz liefert verwandte Beziehungen zwischen Flächen- und Volumenintegralen, aber kein direktes Linienintegral.

Berechnung und Anwendungen: Üblicherweise erfolgt die Berechnung durch Parametrisierung der Kurve; numerische Quadraturmethoden kommen für komplexe Kurven zum Einsatz. Linienintegrale finden Anwendungen in der Physik (Arbeit eines Kraftfeldes, Zirkulation), der Technik, der Strömungsmechanik und der Elektromagnetismus.