Lineærhet

Lineærhet er et begrep som refererer til egenskaper ved funksjoner, transformasjoner og systemer som følger prinsippet om additivitet og homogenitet. I praksis betyr lineærhet at lineære kombinasjoner av innganger gir tilsvarende lineære kombinasjoner av utdata. Dette gjør at slike systemer kan analyseres og prognostiseres ved hjelp av relativt enkle regler.

Formelt for en funksjon f mellom vektorrom over et felt F er f lineær hvis f(u+v) = f(u) + f(v) og f(cu) = c f(u) for alle vektorer u, v og alle skalarer c i F. En konsekvens er at f(0) = 0, og at f(a u + b v) = a f(u) + b f(v). Transformasjoner som oppfyller disse kravene kalles lineære transformasjoner, ofte representert ved matriser.

En viktig distinksjon er mellom lineær og affine funksjoner. En lineær funksjon har f(0) = 0; en affine funksjon har formen f(x) = A x + b, hvor b ikke er null i generelle tilfeller og dermed ikke er linear.

Eksempler på lineære funksjoner er f(x) = 2x, f(x,y) = (x+y, 3x − y) eller generell matristransformasjon f(v) = Av. Ikke-lineære funksjoner inkluderer f(x) = x^2 eller f(x,y) = xy. Innen anvendelser er lineære systemer og modeller populære fordi de følger prinsippet om superposisjon og skalerbarhet.

I statistikk brukes begrepet lineær modell om modeller hvor responsen er en lineær kombinasjon av parametere, ofte estimert med minste kvadraters metode. Lineærhet er også sentralt i fysikk, ingeniørfag og signalbehandling, der superposisjonsprinsippet forenkler analyse av komplekse systemer.