Linearisierende

Linearisierende bezeichnet Verfahren, Modelle oder Transformationsschritte, die Nichtlinearitäten in einer Beziehung oder einem System durch eine lineare Annäherung ersetzen. Der Begriff leitet sich vom Verb linearisieren ab und beschreibt das Ziel, eine einfache, analytisch handhabbare lineare Struktur zu erhalten.

In der Mathematik und Ingenieurwissenschaft dient Linearisierung vor allem dem Zweck, komplizierte Verhaltensweisen zu analysieren oder zu steuern, indem man um einen bestimmten Betriebspunkt oder eine Gleichgewichtslösung herum eine lineare Approximation erzeugt. Typische Einsatzgebiete sind die linearisierte Dynamik von Differentialgleichungssystemen, die lineare Regression aus transformierten Daten, sowie die Signal- und Regelungstechnik.

Die verbreitetste Methode ist die Taylor-Entwicklung erster Ordnung: f(x) ≈ f(x0) + f′(x0)(x − x0). Dabei liefert die Ableitung am Betriebspunkt eine lineare Beziehung, die lokale Beobachtungen approximiert. In dynamischen Systemen erfolgt die Linearisierung durch Bildung der Jacobi-Matrix A = ∂f/∂x|x0,u0 und ggf. B = ∂f/∂u|x0,u0, womit das System um den Punkt x0 ≈ A x + B u beschrieben wird. Weitere Varianten umfassen die linearisierende oder invertierbare Transformationsmethoden wie lineare Transformationen, Log- oder Box-Cox-Transformationen, sowie die piecewise linearisierung.

Beispiele: Die Exponentialfunktion lässt sich durch Logarithmierung in eine lineare Form überführen; eine nichtlineare Regelstrecke kann durch eine lokale lineare Näherung um einen Arbeitspunkt charakterisiert werden.

Linearisierung ist eine lokale Approximation und gilt nur in der Nähe des gewählten Betriebspunkts. Abstände und starke Nichtlinearitäten führen zu signifikanten Abweichungen; oft werden mehrere Punktlinien oder Setups verwendet, um das Verhalten über einen Bereich abzubilden.