Lineaariyhtälöryhmät

Lineaariyhtälöryhmät, tunnettu myös lineaarisista yhtälöjärjestelmistä, ovat kokoelma lineaarisia yhtälöitä, joissa on sama joukko tuntemattomia muuttujia. Tavoitteena on yleensä löytää näiden muuttujien arvot, jotka toteuttavat kaikki yhtälöt samanaikaisesti. Yksinkertaisin tapaus on kahden yhtälön ja kahden muuttujan järjestelmä, kuten:

2x + 3y = 7

x - y = 1

Lineaariyhtälöryhmien ratkaisemiseen on useita menetelmiä. Substituutiomenetelmässä yhden yhtälön muuttuja ilmaistaan toisen muuttujan avulla ja sijoitetaan tämä sitten toiseen yhtälöön. Eliminaatiomenetelmässä taas yhtälöitä kerrotaan sopivilla vakioilla niin, että yhden muuttujan kertoimet ovat vastalukuja, jolloin yhtälöitä yhteenlaskemalla kyseinen muuttuja eliminoituu. Gaussin eliminaatio on yleisempi menetelmä suuremmillekin yhtälöryhmille, ja se perustuu matriisien rivioperaatioihin.

Lineaariyhtälöryhmillä voi olla yksi ratkaisu, ei ratkaisua tai äärettömän monta ratkaisua. Ratkaisujen määrä riippuu yhtälöiden ja muuttujien lukumäärästä sekä yhtälöiden välisistä suhteista. Geometrisesti yhden ratkaisun tapaus vastaa tilannetta, jossa suorat tai tasot leikkaavat yhdessä pisteessä. Ei ratkaisua tarkoittaa, että suorat tai tasot ovat yhdensuuntaisia eivätkä koskaan leikkaa, ja äärettömän monta ratkaisua tarkoittaa, että ne ovat samat suorat tai tasot. Lineaariyhtälöryhmät ovat perustavanlaatuisia monilla matematiikan, fysiikan, insinööritieteiden ja taloustieteen aloilla.