Lineaariyhtälöryhmillä

Lineaariyhtälöryhmät, tunnettu myös nimellä systeemiyhtälöt tai yhtälöryhmät, ovat kokoelma kahta tai useampaa lineaariyhtälöä, jotka sisältävät samoja tuntemattomia muuttujia. Lineaariyhtälö on sellainen, jossa muuttujien korkein potenssi on yksi, eikä muuttujia kerrota keskenään. Tavoitteena on löytää muuttujien arvot, jotka toteuttavat kaikki yhtälöt samanaikaisesti.

Yksinkertaisin tapaus on kahden muuttujan ja kahden yhtälön lineaariyhtälöryhmä, kuten ax + by = c ja dx + ey = f, missä a, b, c, d, e, f ovat vakioita ja x sekä y ovat tuntemattomia. Tällaisia ryhmiä voidaan ratkaista useilla menetelmillä. Sijoitusmenetelmässä yksi muuttuja ratkaistaan yhdestä yhtälöstä ja sijoitetaan se toiseen yhtälöön. Eliminaatiomenetelmässä yhtälöitä kerrotaan sopivilla luvuilla niin, että kun ne lasketaan tai vähennetään toisistaan, yksi muuttuja eliminoituu. Graafisesti ratkaisu on piste, jossa molempien yhtälöiden esittämien suorien kuvaajat leikkaavat.

Suuremmissa lineaariyhtälöryhmissä, joissa on enemmän muuttujia ja yhtälöitä, käytetään usein matriisialgebraan perustuvia menetelmiä, kuten Gaussin eliminaatiota tai matriisin käänteismenetelmää. Lineaariyhtälöryhmillä on laaja sovellusalue matematiikassa, luonnontieteissä, tekniikassa ja taloustieteessä, esimerkiksi kuvaamaan fysikaalisia järjestelmiä, optimointiongelmia tai verkkoteorioita. Ratkaisun olemassaololle on kolme mahdollista tapausta: täsmälleen yksi ratkaisu, ei ratkaisua tai äärettömän monta ratkaisua.