LaxÄquivalenz

Lax-Äquivalenz, kurz für den Lax-Äquivalenzsatz, ist ein wichtiger Satz der numerischen Analysis, benannt nach Peter Lax. Er befasst sich mit der Konvergenz von Finite-Difference-Schemata zur Lösung von linearen Anfangswertproblemen bei partiellen Differentialgleichungen.

Der Kernaussage des Satzes zufolge gilt für ein gut formuliertes lineares Anfangswertproblem und ein Finite-Difference-Schema, das eine konsistente Diskretisierung der Gleichung darstellt: Stabilität und Konsistenz sind äquivalent zur Konvergenz. In der verbreiteten Fassung bedeutet das: Ein konsistentes und stabiles Schema konvergiert gegenüber der exakten Lösung, und unter milden Bedingungen folgt aus Konvergenz oft Stabilität. Damit reduziert sich der Nachweis der Konvergenz darauf, Stabilität und Konsistenz zu prüfen.

Wichtige Begriffe:

- Konsistenz: Der lokale Diskretionsfehler geht gegen Null, wenn Gitterabstände h und Zeitschritte Δt gegen Null gehen.

- Stabilität: Kleine Störungen im Input oder Rundungsfehler führen nicht zu unbeschränktem Wachstum der Lösung (z. B. über eine von der Varianz abhängige Stabilitätsanalyse).

- Konvergenz: Die numerische Lösung nähert sich bei Verkleinerung von h und Δt der exakten Lösung an.

Anwendungsraum und Einschränkungen: Der Satz gilt primär für lineare, wohlgestellte Probleme. Er lässt sich nicht direkt auf generalisierte oder stark nichtlineare Probleme übertragen. In der Praxis erleichtert er den Konvergenznachweis, indem man Stabilität und Konsistenz prüft, um Konvergenz abzuleiten.