Zeitschritte

Zeitschritte, im Plural Zeitschritte, bezeichnet in der Simulation und numerischen Modellierung diskrete Zeitintervalle, mit deren Hilfe der Zustand eines dynamischen Systems schrittweise von einem Zeitpunkt t_n zum nächsten t_{n+1} = t_n + Δt fortgeschritten wird. Die Länge des Intervalls Δt wird als Zeitauflösung oder Zeitschrittgröße bezeichnet und bestimmt, wie fein der zeitliche Verlauf abgebildet wird. Typischerweise wird der Zustand in diskreten Zeitpunkten x_n approximiert, die dem kontinuierlichen Verlauf x(t_n) nahekommen sollen.

Es gibt unterschiedliche Arten von Zeitstufen. Fixed-step-Verfahren verwenden konstantes Δt über die gesamte Simulation, während adaptive Zeitstufen Δt je nach Fehlerabschätzung oder Stabilitätskriterien variieren lässt. In der Praxis kommen verschiedene Rekursionsschemata zum Einsatz, etwa explizite Verfahren wie Forward Euler oder Runge-Kutta-Methoden, sowie implizite Verfahren wie Backward Euler oder Crank-Nicolson. Explizite Methoden sind oft einfach zu implementieren, aber bei stiffness schwieriger zu handhaben; implizite Methoden bieten in der Regel bessere Stabilität bei schiefen Systemen, erfordern jedoch oft die Lösung von Gleichungssystemen pro Zeitschritt.

Wichtige Eigenschaften von Zeitschritten sind Stabilität, Genauigkeit und Konvergenz. Die Wahl von Δt beeinflusst diese Eigenschaften maßgeblich: Zu große Schritte können Instabilität verursachen oder zu ungenauer Nachbildung führen, zu kleine Schritte erhöhen den Rechenaufwand. Adaptive Schrittweitensteuerung verwendet typischerweise Fehlerschätzungen, um Δt dynamisch anzupassen.

Anwendungen finden sich in der numerischen Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen, in der Simulation physikalischer Prozesse, mechanischer Systeme, Elektronik, Chemie und Wetter- bzw. Klimamodellen. Begriffe wie Zeitschrittgröße oder Zeitauflösung werden oft synonym verwendet.