Laplacetransformierte

Die Laplace-Transformierte, auch Laplace-Transformation genannt, ist eine Integraltransformation, die eine Funktion aus dem Zeitbereich f(t) in eine Funktion F(s) im komplexen Frequenzbereich überführt. Für eine Funktion f mit t ≥ 0 wird die unilateral Laplace-Transformierte definiert als F(s) = L{f}(s) = ∫_{0}^{∞} e^{-st} f(t) dt, wobei s ∈ C und Re(s) > σ0, wobei σ0 die Exponentialordnung von f bezeichnet. Im bilateralen Fall lautet F(s) = ∫_{-∞}^{∞} e^{-st} f(t) dt; hier existiert die Transformierte unter der Bedingung einer Region der Konvergenz, die eine Vertikalstreifenregion im komplexen s-Winkelraum beschreibt.

Zu den zentralen Eigenschaften gehören Lineare Affinität und verschiedene Transformationseigenschaften. Es gilt L{af + bg} = aF(s) + bG(s). Zeitverschiebungen f(t − a)u(t − a) führen zu einer Multiplikation mit e^{−as}. Ableitungen im Zeitbereich entsprechen algebraischen Operationen im Frequenzbereich: L{f'(t)} = sF(s) − f(0+), L{t f(t)} = −dF/ds. Das Faltungsprinzip besagt L{(f * g)} = F(s)G(s). Die Inverse Laplace-Transformation rekonstruiert f aus F, sofern eine geeignete Inverse existiert, oft gestützt durch Transformationslisten oder Tabellen.

Existenzbedingungen verlangen üblicherweise Stetigkeit oder stückweise Stetigkeit von f(t) sowie eine Exponentialordnung, damit die Integraltransformation konvergiert. Typische Transformierte liefern einfache Elementarteilungen wie L{1} = 1/s oder L{e^{at}} = 1/(s − a) für geeignete Re(s). Anwendungen liegen in der Lösung linearer Differentialgleichungen, der Regelungs- und Signalverarbeitung, Elektrotechnik und Systemanalyse, wo Umformungen zwischen Zeit- und Frequenzverhalten zentrale Einsichten liefern.