Laplacetransformerna

Laplacetransformerna är en grupp integraltransformer som omvandlar funktioner av tiden till funktioner i ett komplext frekvensområde. Den mest använda versionen är den en-sidiga Laplace-transformen definierad för t ≥ 0: F(s) = ∫_0^∞ f(t) e^{-st} dt, där s är komplext. Den två-sidiga versionen används också: F(s) = ∫_{-∞}^{∞} f(t) e^{-st} dt, med ett område av konvergens där integralen är ändlig. Transformen är linjär och unik inom sitt konvergensområde.

Egenskaper: L{af + bg} = aF(s) + bG(s). Tidsförskjutningar följer L{f(t - a) u(t - a)} = e^{-as} F(s). Derivator ger L{f'(t)} = s F(s) - f(0). Integration ger L{∫ f(τ)dτ} = F(s)/s under lämpliga initialvillkor. Region of convergence påverkar vilka s-värden som gäller; omvandlingen bestäms av funktionens tillväxt och konvergensområde.

Invers transformen: f(t) utvinns från F(s) antingen via Bromwich-integralen f(t) = (1/2πi) ∫_{γ - i∞}^{γ + i∞} e^{st} F(s) ds, där γ ligger i konvergensområdet. I praktiken används ofta en tabell över grundläggande transformpar som L{1} = 1/s, L{e^{at}} = 1/(s-a), L{cos(bt)} = s/(s^2 + b^2), L{sin(bt)} = b/(s^2 + b^2).

Användningar: Används vid lösning av linjära differentialekvationer och initialvärdesproblem, särskilt inom teknik och fysik. Inom kontrollteori används Laplace-transformen för att beskriva överföringsfunktioner och analysera stabilitet. Inom signalbehandling och elektroteknik förenklar de arbete med tidsberoende signaler och system. Förbindelsen till Fouriertransformen finns när s = σ + iω och σ → 0.

Historik: Transformern är uppkallad efter Pierre-Simon Laplace; metoden utvecklades under 1700–1800-talen och har blivit grundläggande inom matematik, ingenjörsvetenskap och fysik.