Laplacetransformasjon

Laplacetransformasjon, eller Laplace-transform, er et integraltransform som omformer en tidsfunksjon f(t) definert for t ≥ 0 til en funksjon F(s) av en kompleks variabel s. Den mest brukte formen er den ensidige transformen: F(s) = ∫_0^∞ e^{-st} f(t) dt, hvor konvergens bestemmes av Re(s). En bilateral variant bruker hele tidsakse: F(s) = ∫_{-∞}^{∞} e^{-st} f(t) dt.

Inverse transform:

Under passende betingelser kan f gjenopprettes ved den inverse transformen: f(t) = (1/2πi) ∫_{γ−i∞}^{γ+i∞} e^{st} F(s) ds, der γ er et realt tall som ligger til høyre for alle poler i F(s) (såkalt Bromwich-sjekk). I praksis brukes ofte tabeller av kjente transformasjoner.

Egenskaper og virkning:

Linjæritet: L{a f + b g} = a F(s) + b G(s). Tidsforskyvning: L{f(t−τ)u(t−τ)} = e^{-sτ}F(s). Frekvensforskyvning: L{e^{at}f(t)} = F(s−a). Skaleringsregel: L{f(at)} = (1/|a|) F(s/a). Differensiering: L{f′(t)} = sF(s) − f(0). Integrasjon: L{∫_0^t f(τ)dτ} = F(s)/s. Ved konvolusjon blir tidsdomene konvolusjon til multiplikasjon i s-domenet: L{f*g} = F(s)G(s).

Betingelser og anvendelser:

Forventede funksjoner er stykkevis kontinuerlige og av eksponentiell størrelse. Laplace-transformen forenkler løsning av lineære differensialligninger med initialbetingelser, analyserer systemrespons, og omformer konvolusjon til enkel multiplikasjon. Den er sentral i kontrollteori, signalbehandling, elektriske kretser og fysikk.

Historie:

Transformasjonen er oppkalt etter Pierre-Simon Laplace og ble utviklet på 1800-tallet. Den har blitt et grunnleggende verktøy i matematikk, ingeniørfag og fysikk.