Langevinligningen

Langevinligningen er en stochastisk differensialligning som beskriver bevegelsen til en partikkel i et medium der det virker en dissipativ friksjon og et tilfeldig støt. Den ble introdusert av Paul Langevin i 1908 som en modell for Brownsk bevegelse og har siden vært sentral i kinetisk teori og soft matter.

Den mest brukte formen beskriver hastigheten v og posisjonen x til en partikkel med masse m i en potensiell kraft -∂U/∂x: m dv/dt = - γ v - ∂U(x)/∂x + η(t). Her er η(t) en Gaussisk hvit støy med forventning ⟨η(t)⟩ = 0 og korrelasjon ⟨η(t) η(t')⟩ = 2 γ k_B T δ(t - t'). Støyen representerer kontinuerlige, tilfeldige kollisjoner med molekylene i mediumet.

I overdamped form (ved stor friksjon eller liten inertia) blir bevegelsen for posisjonen x gitt ved γ dx/dt = - ∂U(x)/∂x + η(t). Dette er ofte tilnærmingen som fører til Smoluchowskijeden for sannsynlighetsfordelingen.

Langevinligningen er en stokastisk differensialligning som kan skrives som dX_t = a(X_t) dt + B dW_t, hvor W_t er et Wiener-prosess. Ligningen er nært knyttet til Fokker-Planck- og Boltzmann-fordelinger og tilfredsstiller fluktuasjon-dissipasjons-teoremet i konstant temperatur.

Bruksområder omfatter modellering av Brownsk bevegelse i væsker, kolloidpartikler, molekylære motorer og generelt prosesser hvor både disipasjon og støy er viktige.