differensialligning

Differensialligning, ofte kalt differensialligning, er en ligning som involverer en ukjent funksjon og dens derivater. Den beskriver hvordan funksjonen endrer seg i forhold til en uavhengig variabel og forekommer i fysikk, biologi, ingeniørfag og økonomi. En differensialligning kan være ordinær differensialligning (ODE) hvis den avhenger av én variabel; en partiell differensialligning (PDE) hvis den involverer partielle derivater av flere variable.

Ordenen til en ODE er den høyeste ordnen av derivatet som forekommer. Ligninger kan være lineære eller ikke-lineære, homogene eller inhomogene, og ha spesielle former som separable, eksakte eller ha integrerende faktor. For lineære ligninger med konstante koeffisienter finnes ofte løsninger gitt av karakteristiske ligninger.

Problemer knyttet til differensialligninger inkluderer initialverdi-problemer (IVP) og randverdi-problemer (BVP). Eksistens og unikhet av løsninger følger under visse betingelser som Lipschitz-kriteriet (Picard-Lindelöf-satsen).

Løsningsmetoder deles ofte i analytiske og numeriske. Analytiske metoder bruker blant annet separable- eller lineære førsteordens teknikker, integrerende faktor, eksakte ligninger, og for andre ordens lineære ligninger med konstant koeffisienter finnes ofte løsninger gitt av den karakteristiske ligningen. Når en lukket løsning ikke finnes, brukes numeriske metoder som Euler-metoden og Runge-Kutta-metoder. For PDE-er gjelder ofte finite difference-metoder eller andre beregningsteknikker.

Eksempler: ODE-er som dy/dx = -p(x)y + q(x) eller d^2y/dx^2 + ω^2 y = 0; PDE-er som varme-, bølge- og Laplace-ligningen. Anvendelser spenner fra mekanikk og varmeoverføring til populasjonsmodeller og finans.