LameGleichungen

Lamé-Gleichungen (Lamé-Gleichungen) sind eine Klasse linearer Differenzialgleichungen zweiter Ordnung mit variierenden Koeffizienten, die in der mathematischen Physik und Potentialtheorie auftreten. Die Standardform lautet d/dz[(1 − z^2) dy/dz] + [h − n(n+1) z^2] y = 0, wobei z eine reelle Variable ist, n eine nichtnegative ganze Zahl (Ordnung) und h ein Eigenwert. Die Gleichung besitzt zwei linear unabhängige Lösungen; je nach Randbedingungen ergeben sich unterschiedliche Speziallösungen.

Lamé-Gleichungen ergeben sich häufig durch Trennung der Variablen bei der Lösung der Laplace-Gleichung in ellipsoiden bzw. sphäroidalen Koordinatensystemen. Sie gehören damit zu den sogenannten Lamé-Funktionen, deren Struktur eng mit der Theorie der Heun-Gleichung verbunden ist. Allgemeine Lösungen werden als Lamé-Funktionen bezeichnet, während für ganzzahlige Ordnungen n spezielle polynomialartige Lösungen auftreten, die als Lamé-Polynome bekannt sind. Diese Polynomlösungen existieren nur für diskrete Eigenwerte von h und dienen in vielen Anwendungen als orthogonale Basisfunktionen unter geeigneten Randbedingungen.

Eigenschaften und Varianten: Es gibt zwei grundlegende Arten von Lösungen für gegebene Parameterpaare (n, h): generalisierte Lamé-Funktionen und, bei bestimmten Eigenwerten, Lamé-Polynome. Die Lamé-Gleichung kann als spezieller Fall der Heun-Gleichung gesehen werden, was ihre analytische Struktur und die Anzahl der Singularitäten verdeutlicht.

Anwendungen und Geschichte: Lamé-Gleichungen erscheinen in der Potentialtheorie, Elektrostatik und Quantenmechanik bei der Trennung von Variablen in ellipsoiden Koordinaten. Namensgeber ist der französische Mathematiker Gabriel Lamé (1782–1854).