Lagrangemethode

Die Lagrangemethode, auch Methode der Lagrange-Multiplikatoren genannt, ist ein Verfahren zur Bestimmung von Extremstellen einer Funktion f(x) unter Nebenbedingungen g_i(x) = 0. Sie wird in der Optimierung sowie in der klassischen Mechanik verwendet. Ziel ist es, die Nebenbedingungen in eine modifizierte Zielfunktion, den Lagrangian L, zu integrieren.

Der Lagrangian ist definiert als L(x, λ) = f(x) + sum_i λ_i g_i(x), wobei λ_i die Lagrange-Multiplikatoren sind. Die notwendigen Bedingungen für ein Optimum heißen: - Die Ableitung von L nach den Entscheidungsvariablen x ergibt null, ∂L/∂x = 0 (d.h. ∇_x L = 0). - Die Nebenbedingungen müssen erfüllt sein, g_i(x) = 0 für alle i. Zusammen mit den Gleichungen ∂L/∂λ_i = g_i(x) = 0 erhält man ein Gleichungssystem, dessen Lösung x und λ das Optimum liefern.

Beispiel: Maximiere f(x,y) = x y unter der Nebenbedingung g(x,y) = x + y − 1 = 0. L = xy + λ(x + y − 1). Die Gleichungen lauten: ∂L/∂x = y + λ = 0, ∂L/∂y = x + λ = 0, ∂L/∂λ = x + y − 1 = 0. Aus y = −λ und x = −λ folgt x = y, und 2x = 1 ergibt x = y = 0,5. Damit ist das Maximum 0,25 erreicht. Allgemein liefert die Methode stationäre Punkte, deren Typ durch weitere Bedingungen (z. B. zweite Ableitungen) bestimmt wird.

Erweiterungen umfassen Ungleichungsbedingungen (KKT-Bedingungen) und Interpretationen der Multiplikatoren als Schattenpreise. Die Methode setzt Differenzierbarkeit der Funktionen voraus und ist besonders nützlich bei mehr als einer Nebenbedingung. Historisch geht sie auf Joseph Louis Lagrange zurück.