Kvotientregelen

Kvotientregelen er en regel iDifferensialkalkulus som gir derivatet av en kvotient av to funksjoner f og g. Den gjelder på et intervall hvor begge funksjoner er differentiable og hvor nevneren g ikke er lik null.

Formelt: Hvis f og g er deriverbare i et intervall og g(x) ≠ 0 for alle x i dette intervallet, så er derivatet av f/g gitt ved (f/g)' = (f' g − f g') / g^2.

Forklaring: Kvotientregelen kan vises ved å skrive f/g som f * (1/g) og bruke produktregelen sammen med kjerneregelen. Da får vi (f'*(1/g)) + f*(-g'/g^2) = (f' g − f g')/g^2.

Anvendelse og forholdsregler: Reglens krav er at g aldri blir null i området man jobber i. Hvis g har røtter i intervallet, er derivatet definert bare der g ≠ 0. Regelen gjelder generelt for normale funksjoner, inkludert polynomielle eller trigonometri-funksjoner, så lenge betingelsene er oppfylt.

Eksempel: Deriver f(x) = x^2 / (x+1). Her er f'(x) = [2x(x+1) − x^2]/(x+1)^2 = (2x^2 + 2x − x^2)/(x+1)^2 = (x^2 + 2x)/(x+1)^2, som kan forenkles til x(x+2)/(x+1)^2. Dette demonstrerer hvordan kvotientregelen brukes i praksis.