polynomielle

Polynomielle est le terme adjectival relatif au polynôme, entité algébrique obtenue par l’addition et la multiplication finies de termes de la forme a x^k, avec k un entier non négatif et a un coefficient issu d’un anneau ou d’un corps. On distingue les polynômes en une variable et les polynômes multi-variables. Une fonction polynomielle est l’application qui associe à chaque valeur de la variable le résultat donné par un polynôme, par exemple f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1. Le degré d’un polynôme est le plus grand exposant dont le coefficient est non nul.

En théorie algébrique, on considère l’anneau des polynômes à coefficients dans un anneau R, noté R[x]. Cet ensemble est fermé sous addition et multiplication. Lorsque R est un corps, il est possible d’effectuer la division avec reste et tout polynôme non constant peut être factorisé, dans une certaine mesure, et tout polynôme de degré n a, sur les corps algébriquement clos comme C, exactement n racines complexes comptées avec multiplicité (théorème fondamental de l’algèbre).

Dans les domaines connexes, le terme polynomielle est couramment utilisé dans la complexité algorithmique pour désigner une dépendance polynomiale en la taille de l’entrée: une complexité polynomielle signifie que les ressources nécessaires croissent comme un polynôme de cette taille, ce qui définit la classe P. Les polynômes jouent aussi un rôle central en analyse numérique et en statistique, avec les polynômes de Taylor comme outils d’approximation et la régression polynomiale comme modèle non linéaire.

Voir aussi polynôme, anneau des polynômes, régression polynomiale, complexité polynomielle.