Kuutiojuuri

Kuutiojuuri tarkoittaa lukua, joka kuutioimalla antaa alkuperäisen luvun. Määritelmä: kuutiojuuri ∛a on se luku b, jolla b^3 = a. Merkitään yleisesti ∛a tai a^(1/3). Realitasolla kuutiojuuri määritellään kaikille reaaliluvuille, ja se vastaa reaalilukujen päättelyä.

Ominaisuudet: ∛(-a) = -∛a, joten negatiivisillakin luvuilla on kuutiojuuri. Jos a on täydellinen kuutio, a = n^3, niin ∛a = n. Muut luvut antavat yleensä irrationaalisen lukuarvon. Kuutiojuuren avulla voidaan jakaa luvut sekä suorittaa tilavuus- ja mittasuhdelaskuja; se on myös tärkeä osa kolmannen asteen yhtälöiden ratkaisumenetelmissä.

Notaatio ja laskenta: Kuution juuren laskeminen voidaan esittää muodossa ∛a tai a^(1/3). Lukuja voidaan lähestyä numeerisesti esimerkiksi Newtonin menetelmällä r_{k+1} = (2 r_k + a / r_k^2) / 3, aloittaen jostakin sopivasta arvauksesta r_0. Negatiivisille luvuille sama kaava toimii ja tulos on negatiivinen. Derivointi f(x) = x^(1/3) antaa f'(x) = 1/(3 x^(2/3)) for x ≠ 0; kohdassa x = 0 derivaatta ei ole määritelty.

Esimerkkejä: ∛8 = 2, ∛27 = 3, ∛-64 = -4, ∛2 ≈ 1.259921. Suhde toisiinsa: ∛(xy) = ∛x ∛y, mikä heijastaa kuutionjuuren sekä kuution että kertolaskun yhteyttä.

Historia ja sovellukset: Kuution juurta käytetään tilavuuksien ja mittasuhteiden laskuissa sekä kolmannen asteen yhtälöiden ratkaisuissa. Sen käsittelyä on harjoitettu jo antiikin aikana sekä Kiinassa että Kreikassa erilaisten menetelmien kautta.