Kopositiveigenschaften

Kopositiveigenschaften bezeichnen in der linearen Algebra und Optimierung die Merkmale von kopositiven Matrizen und des Kopositivenkegels. Eine reelle n×n-Matrix A heißt kopositiv, wenn für alle nichtnegativen Vektoren x (x ≥ 0 komponentenweise) gilt: x^T A x ≥ 0. Für quadratische Formen ist nur der symmetrische Anteil von A relevant, sodass üblicherweise auf symmetrische Matrizen beschränkt wird.

Wichtige Eigenschaften umfassen die Inklusionsbeziehungen zu anderen Kegeln: der Kopositivkegel COP^n enthält alle positiv semidefiniten Matrizen mit zusätzlich nichtnegativen Einträgen sowie allgemein den Summe-Kegel aus positiv semidefiniten und eintragsweisen nichtnegativen Matrizen. Für n ≤ 4 stimmt COP^n genau mit der Summe aus dem positiv semidefiniten Kegel und dem Kegel der eintragsweisen nichtnegativen symmetrischen Matrizen überein; für n ≥ 5 gibt es jedoch kopositive Matrizen, die nicht so dargestellt werden können. Der Dualkegel von COP^n ist der Kegel der vollständig positiven Matrizen (completely positive).

Die Entscheidung, ob eine gegebene Matrix kopositiv ist, ist theoretisch schwierig und wird als NP-hart bzw. co-NP-vollständig klassifiziert. Praktisch werden hinreichende bzw. notwendige Tests, Hierarchien und Relaxationen eingesetzt. Anwendungen finden sich in nichtlinearen und kombinatorischen Optimierungsproblemen (z. B. Reformulierung globaler Quadraterprobleme als kopositive Programme), Stabilitätsanalyse und bestimmten ökonomischen bzw. spieltheoretischen Modellen.