Koordinatfunktionerna

Koordinatfunktionerna är inom matematiken linjära funktioner som, i en n-dimensionell vektorrymd V över ett fält F, ger koordinaterna av en vektor uttryckt i en vald bas. Om v = a1 e1 + ... + an en i basen (e1,...,en) så definieras för varje i fi(v) = ai. Dessa fi tillhör den duala basen och uppfyller fi(ej) = δij.

I praktiken, när V är R^n och basen är standardbasen, blir koordinatfunktionerna fi(v) = vi, dvs projektionerna som hämtar i-th-komponenten. Dessa funktioner används ofta som koordinater för att skriva vektorer som kolumnvektorer av deras komponenter.

Egenskaperna hos koordinatfunktionerna är att de är linjära och att de bildar den duala basen till den valda basen i V. De separerar punkter, vilket innebär att om fi(v) = 0 för alla i, så är v nollvektorn. De används för att uttrycka linjära avbildningar i en koordinatrepresentation, för att beskriva byte av bas och för att beskriva koordinatsystem i koordinatrum som rymder eller mångfalder.

Exempelvis i R^3 med standardbasen e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1) är koordinatfunktionerna f1(x,y,z)=x, f2(x,y,z)=y och f3(x,y,z)=z. Dessa fi används också inom olika områden som geometri, analys och linjär algebra för att underlätta beräkningar och förändringar av baser.

Se även: dualt rum, bas, projektion, koordinatsystem, linjär avbildning.