Koordinatenräume

Koordinatenräume bezeichnet in der linearen Algebra den Koordinatenraum eines Vektorraums V über einem Körper F (typischerweise R oder C). Für einen endlich-dimensionalen Vektorraum der Dimension n gilt: Sei (v1, ..., vn) eine Basis von V. Dann existiert eine eindeutige Zuordnung, die jedem Vektor v ∈ V die n-Tupel x = (x1, ..., xn) ∈ F^n zuordnet, sodass v = x1 v1 + ... + xn vn. Diese Zuordnung ist eine lineare Isomorphie zwischen V und F^n; man spricht vom Koordinatenraum von V bezüglich der gewählten Basis. F^n wird dann oft als Standard-Koordinatenraum bezeichnet.

Koordinaten eines Vektors hängen von der Wahl der Basis ab. Bei einer neuen Basis (w1, ..., wn) erhält man andere Koordinaten x′ und eine andere Darstellung des Vektors; die Umrechnung erfolgt durch eine invertierbare Matrix, die die Basiswechselmatrix darstellt. Umgekehrt kodiert jedes n-Tupel in F^n eindeutig einen Vektor in V.

Beispiele: In R^2 mit der Standardbasis e1 = (1, 0) und e2 = (0, 1) entspricht der Koordinatenraum R^2 dem üblichen zweidimensionalen Raum; jeder Vektor v = (a, b) hat Koordinaten (a, b). Allgemein ist der Koordinatenraum von R^n schlicht F^n.

Anwendungen: Koordinatenräume erleichtern die Beschreibung linearer Abbildungen, die Lösung linearer Gleichungssysteme und die geometrische Interpretation von Vektoren. Sie dienen auch als Modell des Vektorraums selbst, wobei verschiedene Koordinatensysteme durch Basiswechsel verbunden sind.