Koordinatenrepräsentation

Koordinatenrepräsentation bezeichnet die Zuordnung von Objekten zu einem n-Tupel von Zahlen in einem gewählten Koordinatensystem oder einer Basis. Sie dient dazu, geometrische oder algebraische Objekte durch explizite Koordinaten darzustellen, sodass Rechenoperationen mit konkreten Zahlen möglich werden. In Euclidianem Raum R^n besitzt jeder Punkt relativ zur Standardbasis die Koordinaten (x1, ..., xn), die seine Lage beschreiben. Die Wahl eines anderen Koordinatensystems ändert lediglich die Darstellung, nicht das zugrunde liegende Objekt.

Vektoren in einem Vektorraum V erhalten Koordinaten [v]_B bezüglich einer Basis B = (b1, ..., bn) durch v = v1 b1 + ... + vn bn. Diese Koordinatenvi heißen Koordinaten von v bezogen auf B. Ist eine andere Basis C = (c1, ..., cn) gewählt, ändern sich die Koordinaten durch eine Basiswechselmatrix.

Auch lineare Abbildungen lassen sich durch Koordinaten darstellen: Mit den Basen B und C erhalten wir eine Matrix A, so dass [T(v)]_C = A [v]_B. Die Matrix hängt von der gewählten Basis ab; bei einem Basiswechsel transformiert sie sich gemäß den Regeln des Basiswechsels.

Auf einer Mannigfaltigkeit liefert eine Koordinatenkarte local eine Koordinatenrepräsentation: φ: U ⊂ M → R^n ordnet jedem Punkt Koordinaten zu. Übergangsfunktionen zwischen Karten ändern die Koordinaten durch eine differenzierbare Abbildung, wodurch verschiedene Koordinatendarstellungen desselben Punkts verbunden sind.

Koordinatenrepräsentationen erleichtern Berechnungen, sind jedoch nicht invariant. Geometrische Größen wie Abstände oder Winkel bleiben unabhängig von der gewählten Koordinatenndarstellung; sie erfordern geeignete transformierte Formeln oder invarianten Beschreibungen.