Basiswechsels

Basiswechsel bezeichnet in der linearen Algebra den Übergang der Darstellung eines Vektorraums und seiner Vektoren von einer Basis zu einer anderen Basis. Er ermöglicht es, Vektoren und lineare Abbildungen in verschiedenen Koordinatensystemen zu beschreiben, ohne die zugrunde liegenden Vektoren zu verändern.

Gegeben seien zwei Basen B = (b1, ..., bn) und B' = (b1', ..., bn') eines n-dimensionalen Vektorraums. Die Change-of-Basis-Matrix P von B nach B' ist definiert als die Matrix, deren Spalten die Koordinaten der Basisvektoren von B' in der Basis B bilden, also P = ([b1']_B, ..., [bn']_B). Für jeden Vektor v gilt dann die Beziehung v in der Basis B_SEPARATOR? v hat die Koordinaten [v]_B zuvorgelegt und in B' die Koordinaten [v]_{B'}; es gilt

[v]_B = P [v]_{B'}, bzw. [v]_{B'} = P^{-1} [v]_B.

Zur Darstellung einer linearen Abbildung A im Basiswechsel gilt zudem, dass die Matrix von A in der Basis B' durch A' = P^{-1} A P gegeben ist, wobei A die Matrix von A in der Basis B ist. Damit bleibt die zugrunde liegende Abbildung unverändert, nur ihre Koordinaten-Darstellung ändern sich.

Praxishinweise: Wenn B der Standardbasisvektorensystem entspricht, bestehen die Spalten von P einfach aus den Koordinaten der Vektoren von B' in Standardkoordinaten. Gleichsprachig ist P invertierbar, da Basen stets eine Umordnung beziehungsweise Umlinearisierung desselben Vektorraums darstellen. Orthogonale Basen führen zu orthogonalen P, was dalam numerischen Berechnungen oft Stabilität erhöht.