Koordinatenfunktionalwerte

Koordinatenfunktionalwerte bezeichnen die Werte der Koordinatenfunktionale eines Vektorraums, also die Auswertung der linearen Funktionale, die die k-te Koordinate eines Vektors bezüglich eines gegebenen Basissystems auslesen. Im einfachsten Fall eines endlichen Raums wie R^n liefern die Koordinatenfunktionale direkt die Koordinaten eines Vektors.

In dem Standardfall R^n mit der Basis e1, …, en gilt für x = (x1, …, xn) das k-te Koordinatenfunktional f_k(x) = x_k. Die Funktionale f_1, …, f_n bilden zusammen die Dualbasis von (R^n)*, wobei f_k(e_j) = δ_kj gilt. Damit lassen sich Vektoren eindeutig durch ihre Koordinaten darstellen: x = sum_{k=1}^n f_k(x) e_k.

In unendlichen Dimensionen wird der Begriff durch Basen wie eine Schauderbasis verallgemeinert. Hat X eine Schauderbasis (e_k) und jedes x in X lässt sich als konvergente Reihe x = sum_{k=1}^∞ a_k e_k schreiben, dann gelten die Koordinatenfunktonale f_k(x) = a_k. Die Kontinuität dieser Funktionale hängt von der Beschaffenheit der Basis ab; in typischen Sequenzräumen wie l^p (1 ≤ p < ∞) sind die Koordinatenfunktionale stetig und liefern die Koordinaten a_k.

Koordinatenfunktionalwerte dienen der Rekonstruktion und Analyse von Vektoren über deren Koordinaten, der Definition von Projektionen (z. B. Erzeugung von Teilvektoren durch erste k Koordinaten) und der Darstellung von Vektoren durch Koordinatenfolgen. Sie bilden eine biorthogonale Paarung zur gewählten Basis und ermöglichen eine anschlussfähige Form der Darstellung innerhalb des jeweiligen Raums.