Koordinatenfunktonale

Koordinatenfunktionale (auch Koordinaten-Funktionale) sind lineare Funktionale, die die Koordinaten eines Elements relativ zu einer Schauder-Basis eines topologischen Vektorraums bestimmen. Sei X ein Banachraum mit einer Schauder-Basis (x_n). Dann existieren eindeutig x_n^∗ ∈ X^*, so dass x_n^∗(x_m) = δ_{nm} und jedes x ∈ X als normkonvergente Reihe x = ∑_{n=1}^∞ a_n x_n geschrieben werden kann, wobei a_n = x_n^∗(x). Die Sequenz {x_n^∗} bildet damit eine biorthogonale Familie zur Basis.

Für jedes x liefert die Teilprojektion P_N(x) = ∑_{n=1}^N a_n x_n eine endliche Darstellung, und P_N ist stetig. Die Koordinatenfunktionale ermöglichen es, jeden Koeffizienten a_n = x_n^∗(x) direkt zu bestimmen und damit die Koordinatenrepräsentation von Elementen zu analysieren. In einem klassischen Beispiel der Sequenzräume l_p (1 ≤ p < ∞) mit der Standardbasis e_n entsprechen die Koordinatenfunktionale der Projektion auf die n-te Koordinate.

Beispiele und Voraussetzungen: Die Existenz eines Systems von Koordinatenfunktionalen setzt eine Schauder-Basis voraus; nicht jeder Banachraum besitzt eine solche Basis. In Räumen ohne echte Basis werden ähnliche Konzepte über andere Strukturen wie endliche Zerlegungen (FDDs) oder Frames verwendet.

Bedeutung und Anwendungen: Koordinatenfunktionale erleichtern die Analyse von Konvergenz, Stabilität und Approximation von Elementen in verprodukteten oder basisrepräsentierten Räumen. Sie dienen der Untersuchung der Eigenschaften von Basen (zum Beispiel Konvergenzverhalten, unbedingte Basen) und bilden die Grundlage für konkrete Koordinatenzugriffe in der Funktionalanalysis.