Konvolutsioonid

Konvolutsioonid on matemaatiline operatsioon, mis rakendub kahele funktsioonile, et toota kolmas funktsioon, mis väljendab seda, kuidas ühe funktsiooni kuju muudetakse teise funktsiooni poolt. Seda operatsiooni tähistatakse sageli tärniga (*). Konvolutsiooni saab mõista kui kaalutud keskmistamist. Üks funktsioon "libiseb" üle teise, ja igas punktis arvutatakse punktiviisiline korrutis ja integreeritakse, et saada tulemusfunktsiooni väärtus selles punktis.

Konvolutsiooni kontseptsioon on laialdaselt kasutusel erinevates teadus- ja insenerivaldkondades. Signaalitöötluses kasutatakse konvolutsiooni lineaarse ajainvariantse (LTI) süsteemi väljundsignaali arvutamiseks, kui sisendsignaal ja süsteemi impulsresponss on teada. Impulsresponss kirjeldab, kuidas süsteem reageerib väga lühikesele impulsile. Pilditöötluses kasutatakse konvolutsiooni erinevate filtrite rakendamiseks, nagu hägustamine, teravustamine või servade tuvastamine. Teoreetilises füüsikas ja statistikas ilmub konvolutsioon mitmetes valemites, näiteks tõenäosusjaotuste summade käsitlemisel.

Matemaatiliselt on pideva reaalse funktsiooni f ja g konvolutsioon (f*g)(t) defineeritud kui integraal:

(f*g)(t) = ∫ f(τ) g(t-τ) dτ

kus integraal võetakse üle kõigi reaalarvude τ. Diskreetsel juhul on konvolutsioon summa:

(f*g)[n] = Σ f[k] g[n-k]

kus summa võetakse üle kõigi täisarvude k.