Konvolusjonsberegninger

Konvolusjonsberegninger refererer til en matematisk operasjon som involverer to funksjoner, vanligvis kalt input og kjerne. Operasjonen kombinerer disse to funksjonene for å produsere en tredje funksjon, som representerer en form for vektet gjennomsnitt av input-funksjonen. Konvolusjon er grunnleggende i mange felt innen matematikk, fysikk og ingeniørvitenskap, og har mange anvendelser.

I det diskrete tilfellet, hvor begge funksjonene er sekvenser av tall, kan konvolusjon beskrives som følger: Hvis vi har to sekvenser, x og h, så er konvolusjonen y av disse sekvensene gitt ved:

y[n] = ∑ (x[k] * h[n-k])

hvor summen går over alle verdier av k for hvilke både x[k] og h[n-k] er definert. I det kontinuerlige tilfellet, hvor begge funksjonene er kontinuerlige, kan konvolusjonen av to funksjoner f og g være beskrevet som:

(f * g)(t) = ∫ (f(τ) * g(t-τ)) dτ

hvor integralet går over alle verdier av τ for hvilke både f(τ) og g(t-τ) er definert.

Konvolusjon har mange anvendelser, blant annet i signalbehandling, bildebehandling, og i løsningen av differensialligninger. I signalbehandling, for eksempel, kan konvolusjon brukes til å beskrive hvordan et system påvirker et input-signal. I bildebehandling kan konvolusjon brukes til å utføre operasjoner som glatting og kantdeteksjon. I løsningen av differensialligninger kan konvolusjon brukes til å finne inversen av en operator.